שיעור 15: כלל נסיגה של סדרה הנדסית

פרק 4 – סדרות: כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 2, a_{n + 1} = 3a_n.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים: a_n = 2 · 3^{n − 1}.

הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

לפי הנתון a₁ = 2. לפי הנוסחה:

2 · 3⁰ = 2 · 1 = 2 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

a_k = 2 · 3^{k − 1}

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

a_k = 2 · 3^{k − 1}

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

a_{k + 1} = 2 · 3^{(k + 1) − 1} = 2 · 3^k

לפי כלל הנסיגה:

📐 כלל הנסיגה

a_{k + 1} = 3a_k

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

📐 כלל הנסיגה

a_{k + 1} = 3a_k

📐 הנחת האינדוקציה

a_k = 2 · 3^{k − 1}

הוכחה באינדוקציה · המשך

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 3 · 2 · 3^{k − 1}

כפל חזקות עם אותו בסיס:

📐 חוקי חזקות

= 2 · 3^k ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הנחת האינדוקציה

a_k = 2 · 3^{k − 1}

📐 חוקי חזקות

3 · 3^{k − 1} = 3^{1 + (k − 1)} = 3^k

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא